声波与声音的合成：正弦波、振幅、频率、相位与叠加原理

声音是空气的振动。要在程序里描述、分析甚至”制造”声音，第一步就是理解最简单的振动——正弦波。这一篇不假设你有任何物理或数学背景，我们从”旋转”开始，一步步推出正弦波公式，再讲清楚它三个参数的含义，最后用叠加原理说明：复杂的音乐其实是由简单的正弦波拼出来的。

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1. 先从旋转说起：正弦是什么

1.1 单位圆上的旋转

想象一个点在单位圆上匀速转圈。它每转一圈，角度从 $0$ 走到 $2\pi$（也就是 $360°$）。如果我们只记录这个点竖直方向的高度，会得到一条波浪线。

把角度记为 $\theta$，竖直高度记为 $y$，那么：

$$y = \sin\theta$$

几个关键角度：

$\theta$	$0$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
$\sin\theta$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$

所以 $\sin$ 本质上是一个”旋转的投影”：角度匀速变化，投影高度就上下起伏。频率就是”每秒转多少圈”。

1.2 把旋转变成时间函数

设每秒转 $f$ 圈，经过时间 $t$ 秒转了 $ft$ 圈，对应角度 $2\pi ft$。于是高度随时间变化为：

$$s(t) = A\sin(2\pi f t)$$

这里先乘上振幅 $A$，后面马上解释。这就是正弦波的完整公式。你可以把它读成：”$s(t)$ 等于振幅 $A$ 乘以一个以频率 $f$ 转动的正弦值”。

图上青色实线就是一条正弦波：横轴是时间，纵轴是”振动偏移量”。

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2. 振幅 A：波有多高

2.1 定义

振幅 $A$ 是振动偏离平衡位置的最大距离。公式里 $\sin$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，乘上 $A$ 后取值范围变成 $[-A, A]$。

$$s(t) = A\sin(2\pi f t) \quad \Longrightarrow \quad -A \le s(t) \le A$$

2.2 振幅决定了什么

振幅对应声音的”大小”。振幅越大，空气压强变化越剧烈，传到耳朵里的能量越大，我们感觉越响。

但注意：振幅和响度不是线性关系。振幅翻倍，人耳并不会感觉”响了一倍”，而是只响了一点。这是因为人耳对响度的感知接近对数（详见系列第 3 篇《响度与分贝》）。这也是为什么音频软件里的音量滑块通常不是线性的。

2.3 在图上怎么看

看图：红色竖线标注的 $A$ 就是波峰到平衡线的距离。一条振幅为 $2A$ 的波，形状和 $A$ 的波完全一样，只是整体”变高变低”了。

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3. 频率 f 与周期 T：波有多密

3.1 定义

频率 $f$ 是每秒完成振动的次数，单位 Hz（赫兹）。1 Hz 表示每秒振一次，1000 Hz 表示每秒振 1000 次。

完成一次完整振动需要的时间叫周期 $T$：

$$T = \frac{1}{f}$$

两者互为倒数：频率越高，周期越短。

3.2 频率决定了什么

频率对应音高。440 Hz 是音乐里的标准音 A4（小提琴调音用的”国际标准音”），880 Hz 比它高一个八度，220 Hz 比它低一个八度。

人的听觉范围大约是 20 Hz 到 20 kHz（20000 Hz）：

• 20–60 Hz：超低音，主要是”震动感”而不是”音高感”；
• 60–250 Hz：贝斯、底鼓的主体；
• 250 Hz–2 kHz：人声和旋律的主要范围；
• 2 kHz–20 kHz：高频泛音、镲片、空气感。

3.3 角频率 ω

公式里经常出现 $2\pi f$，它叫角频率，记作 $\omega$：

$$\omega = 2\pi f$$

含义是”每秒转多少弧度”（$2\pi$ 弧度 = 一整圈）。用它可以把正弦公式写得更短：

$$s(t) = A\sin(\omega t)$$

两种写法完全等价，后面文章里会混用。

3.4 在图上怎么看

图上绿色标注的 $T$ 是相邻两个波峰之间的时间。频率 2 Hz 的波，一秒钟能看到两个完整波峰；频率 1000 Hz 的波，一秒钟有 1000 个波峰——在图上会挤成一条实心带，这也是为什么可视化时通常只显示很短的时间窗口。

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4. 相位 φ：波从哪开始

4.1 定义

如果转圈不是从角度 0 开始的，而是先偏了 $\varphi$ 弧度，公式变成：

$$s(t) = A\sin(2\pi f t + \varphi)$$

$\varphi$ 叫初相位（简称相位）。它只改变波形在时间轴上的起点，不改变形状、频率或振幅。

4.2 相位差：两个同频波的”错位”

两个频率、振幅都相同的波，如果相位不同，它们形状完全一样，只是错开了一段时间。错开的量：

$$\Delta t = \frac{\varphi}{2\pi f} = \frac{\varphi}{\omega}$$

相位差 $\varphi$ 用弧度表示，一整圈是 $2\pi$。$90° = \pi/2$ 弧度，$180° = \pi$ 弧度。

4.3 相位为什么重要

单独听一个纯音时，相位几乎听不出来（耳朵对单一频率的相位不敏感）。但多个波叠加时，相位决定结果是加强还是抵消：

• 相位差 $0$（同相）：$A\sin\theta + A\sin\theta = 2A\sin\theta$，振幅翻倍；
• 相位差 $\pi$（反相）：$A\sin\theta + A\sin(\theta+\pi) = A\sin\theta - A\sin\theta = 0$，完全抵消。

图上橙色虚线就是同频但相位右移的波：它和青色实线形状一样，只是起点偏右。

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5. 叠加原理：复杂声音 = 简单波之和

5.1 核心思想

声音在空气中的传播满足线性规律：两个波同时存在时，任意时刻的总振动等于各自振动的直接相加。写成公式：

$$s_{\text{total}}(t) = s_1(t) + s_2(t) + \dots + s_N(t)$$

每个 $s_i(t)$ 都可以是一个正弦波：

$$s_{\text{total}}(t) = \sum_{i=1}^{N} A_i \sin(2\pi f_i t + \varphi_i)$$

这就是叠加原理：同一时刻，把每个分量在那个时刻的值加起来，就是合成波的值。

上图里：

• 蓝色曲线是低频分量；
• 绿色曲线是中频分量；
• 白色曲线是两者相加的结果。

注意白色曲线在蓝色和绿色同向时更高、反向时更低——这就是”相加”在图形上的含义。

5.2 为什么正弦波是”积木”

你可能会问：为什么要选正弦波当积木，不能选别的形状？

答案是傅里叶定理（系列第 5 篇会详细证明）：任何”足够平滑”的周期信号，都可以唯一地分解成不同频率、振幅、相位的正弦波之和。正弦波是”原子”，其他所有波形都是它的组合。这意味着：

• 一段小提琴声 = 基频正弦 + 若干泛音正弦；
• 一段鼓声 = 很多不同频率的正弦瞬间叠加再快速衰减；
• 一个方波 = 基频 + 奇次谐波（$f, 3f, 5f, \dots$）的无穷级数。

5.3 拍频：两个”很近”的频率

如果两个频率非常接近，比如 440 Hz 和 443 Hz，叠加后会产生周期性的”忽强忽弱”，这叫拍频（beating）。用和差化积：

$$\sin a + \sin b = 2\cos\frac{a-b}{2}\,\sin\frac{a+b}{2}$$

令 $a = 2\pi f_1 t$、$b = 2\pi f_2 t$，得到：

$$\sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t) = 2\cos\!\Big(2\pi\frac{f_1-f_2}{2}t\Big)\sin\!\Big(2\pi\frac{f_1+f_2}{2}t\Big)$$

右边像一个平均频率 $\frac{f_1+f_2}{2}$ 的波，外面包着一层频率 $\frac{|f_1-f_2|}{2}$ 的”外壳”。人耳听到的就是每秒 $|f_1-f_2|$ 次的强弱变化。吉他调音就利用这个现象：两根弦音高接近时会有拍频，越接近拍得越慢。

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6. 用叠加”造”声音：音色从哪来

6.1 谐波与音色

同一个音高（比如 220 Hz 的 A），钢琴、吉他、单簧管听起来完全不同，差别不在基频，而在**泛音（谐波）**的振幅与相位分布。

一组典型的谐波：

谐波	频率	振幅（示例）	作用
基频	$f$	1.0	决定音高
二次谐波	$2f$	0.4	增加”明亮度”
三次谐波	$3f$	0.2	增加”厚度”
四次谐波	$4f$	0.1	再增加亮度
高次谐波	$\dots$	递减	决定”尖锐”还是”圆润”

合成公式：

$$s(t) = \sum_{k=1}^{K} A_k \sin(2\pi k f t + \varphi_k)$$

6.2 一个可以直接玩的实验

系列文章的配套工具音频混合工具可以实时演示：

1. 只开 220 Hz 分量：你听到一个干净、单调的”纯音”；
2. 依次加上 440、660、880 Hz：声音逐渐从”正弦”变成更像乐器的音色；
3. 切到”和弦”预设：三个非整数倍的频率叠加，形成丰满的和声；
4. 拖动相位：波形形状变化，但音色变化不明显——这正说明相位对单音感知较弱、对叠加形状重要。

工具上半部分画的各分量曲线和白色合成线，就是本节公式的实时可视化。

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7. 小结

这一篇的核心结论：

1. 正弦波是”旋转的投影”：$s(t) = A\sin(2\pi f t + \varphi)$；
2. 振幅 $A$ 决定响度，频率 $f$ 决定音高，相位 $\varphi$ 决定起点；
3. 任意复杂声音都可以写成多个正弦波之和——这就是叠加原理；
4. 音色差异来自各次谐波的振幅和相位分布；
5. 同频同相相加变强，反相相消，相近频率产生拍频。

下一篇《音高与十二平均律》将回答一个更深的问题：为什么音乐用 12 个半音？频率和音高到底是什么关系？

8. 深入专题：叠加的代数、几何与常见误区

前面的内容足够应付日常使用，但”叠加”这个主题还能挖得更深：为什么拍频公式长那样？为什么方波需要无限个谐波？相位到底重不重要？这一节全部展开。

8.1 和差化积：拍频的完整推导

要证明”两个相近频率叠加会产生拍频”，需要三角恒等式。从最基础的加法公式出发：

$$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$ $$\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$$

两式相加：

$$\sin(a+b) + \sin(a-b) = 2\sin a\cos b$$

令 $a = 2\pi f_1 t$、$b = 2\pi f_2 t$，并做变量代换 $a = (u+v)/2$、$b = (u-v)/2$，得到：

$$\sin u + \sin v = 2\cos\frac{u-v}{2}\,\sin\frac{u+v}{2}$$

把 $u = 2\pi f_1 t$、$v = 2\pi f_2 t$ 代入：

$$\sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t) = 2\cos\!\Big(2\pi\frac{f_1-f_2}{2}t\Big)\sin\!\Big(2\pi\frac{f_1+f_2}{2}t\Big)$$

解读：

• $\sin$ 部分是平均频率 $\frac{f_1+f_2}{2}$ 的载波；
• $\cos$ 部分是频率 $\frac{|f_1-f_2|}{2}$ 的包络；
• 包络从 +1 到 −1 再回来是一个周期，对应 $1/|f_1-f_2|$ 秒，所以人耳每秒听到 $|f_1-f_2|$ 次强弱变化。

例如 440 Hz 和 443 Hz：每秒 3 次强弱变化，这就是”拍频 3 Hz”。

8.2 为什么方波需要无限个谐波

方波的数学定义：

$$\text{square}(t) = \begin{cases} +1, & 0 < t < T/2 \\ -1, & T/2 < t < T \end{cases}$$

它的傅里叶级数是：

$$\text{square}(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\big(2\pi(2k+1)ft\big)}{2k+1}$$

也就是只有奇次谐波：$f, 3f, 5f, 7f, \dots$，振幅按 $1/k$ 衰减。

图里可以看到：

• 只有 $f$：一条正弦；
• 加 $3f$：波形开始”变方”；
• 加 $5f$：边缘更陡；
• 加 $7f$ 甚至更多：顶部更平、跳变更锐利。

但注意：无论加多少有限个谐波，合成结果都不会是完美方波，因为跳变处需要无穷多个高频分量。这是傅里叶级数的一个重要现象（吉布斯现象）。同理，任何有限个正弦波合成的信号都是光滑的，只有无穷级数才能产生真正的”角”。

8.3 相位叠加的三种典型情况

两个同频同幅的正弦波 $A\sin\theta$ 和 $A\sin(\theta+\varphi)$：

情况一：$\varphi = 0$（同相）

$$A\sin\theta + A\sin\theta = 2A\sin\theta$$

振幅直接翻倍。

情况二：$\varphi = \pi$（反相）

$$A\sin\theta + A\sin(\theta+\pi) = A\sin\theta - A\sin\theta = 0$$

完全抵消，静音。这就是降噪耳机的基本原理：采集环境噪声，反相播放，把噪声”减掉”。

情况三：$\varphi = \pi/2$（正交）

利用和差化积：

$$A\sin\theta + A\sin(\theta+\pi/2) = A\sin\theta + A\cos\theta = \sqrt{2}A\sin(\theta+\pi/4)$$

结果仍是正弦，振幅变成 $\sqrt{2}A$，相位平移 $45°$。注意：两个同频正弦无论相位差多少，叠加结果都是同频正弦，只是振幅和相位变了。这一点很重要，也是为什么”同频”的分析可以只用振幅和相位两个数描述。

一般地，$A_1\sin(\omega t + \varphi_1) + A_2\sin(\omega t + \varphi_2)$ 可以合并成 $A\sin(\omega t + \varphi)$，其中：

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}$$ $$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$$

这两个公式在”合成器相位叠加”里很常用，建议自己代入验证一遍。

8.4 数值手算：三个谐波逐点相加

设采样间隔 $T_s$，取 $t = 0, T_s, 2T_s, \dots$。我们用 $f = 220$、$2f = 440$、$3f = 660$ Hz，振幅 $1, 0.5, 0.25$，相位全为 0，在一个周期内取 8 个点手算：

$n$	$\sin(2\pi f t_n)$	$0.5\sin(2\pi\cdot2f t_n)$	$0.25\sin(2\pi\cdot3f t_n)$	合成
0	0	0	0	0
1	0.707	1.000	0.707	2.414
2	1.000	0	−1.000	0
3	0.707	−1.000	0.707	0.414
4	0	0	0	0
5	−0.707	1.000	−0.707	−0.414
6	−1.000	0	1.000	0
7	−0.707	−1.000	−0.707	−2.414

注意 $t_n = nT_s$，$2\pi f t_n = 2\pi n/8$（因为一个周期 8 个点），于是 $\sin(2\pi n/8)$、$\sin(2\pi\cdot2n/8)$、$\sin(2\pi\cdot3n/8)$ 可以直接查表。合成列就是”同一行三个值相加”，这正好演示了叠加原理的逐点计算。把这张表画到坐标纸上，就是白色合成曲线的 8 个采样点。

8.5 常见误区

误区一：“相位不重要，可以随便设”

对单一频率的纯音，人耳确实很难分辨相位。但叠加多个波时，相位直接决定波形形状：同相翻倍、反相抵消。降噪耳机、波束成形、相控阵雷达全是靠”控制相位”工作的。

误区二：“振幅越大，响得越多”

人耳对响度的感知接近对数。振幅从 1 到 2 只增加约 6 dB，感觉只”响了一点”；要感觉”响了一倍”大约需要 +10 dB（振幅 ×3.16）。详见系列第 3 篇。

误区三：“声音大 = 音调高”

音高由频率决定，响度由振幅决定，两者独立。低音贝斯可以震得胸口发闷（振幅大），但音高很低。

误区四：“方波就是两个正弦波”

方波需要无穷多个奇次谐波。有限个正弦叠加永远是光滑曲线，不能产生真正的直角跳变。

误区五：“播放器里的波形就是原始声波”

播放器画的波形通常只取很短的时间窗口（几毫秒到几十毫秒），低频分量在这种窗口里可能只看到一小段；而且显示时做了归一化和压缩，不代表真实振幅。

8.6 扩展练习

1. 用和差化积证明：440 Hz 与 444 Hz 叠加后包络频率是 2 Hz。
2. 计算 $3\sin\theta + 4\cos\theta$ 的振幅和相位（提示：写成 $A\sin(\theta+\varphi)$）。
3. 用音频混合工具分别设两个分量为 220 Hz（振幅 1）和 660 Hz（振幅 0.33），观察是否接近方波的前两项，并解释为什么比例是 1:1/3。
4. 为什么降噪耳机需要”反相”而不是”减小音量”？用公式说明。

练习

1. 440 Hz 的正弦波，周期是多少毫秒？
2. 写出 $s(t) = 3\sin(2\pi\cdot 1000 t + \pi/2)$ 的振幅、频率、初相位。
3. 两个同频同幅反相的正弦波叠加结果是什么？用公式验证。
4. 打开音频混合工具，分别设置两个分量为 440 Hz 和 443 Hz，观察白色合成波的”拍频”。