音高与十二平均律：频率、八度、半音与音分

2026/8/10 3725 字 7 分钟可视化音乐可视化原理 · 第 2 篇

上一篇我们认识了正弦波和叠加原理。这一篇回答一个非常实际的问题：为什么音乐里只有 12 个半音？频率和音高到底是什么关系？十二平均律的 $2^{1/12}$ 是怎么来的？

这个问题看起来像乐理，其实是纯数学。理解了它，你就能看懂播放器频谱里”对数刻度”的来历，也能看懂为什么 A4 = 440 Hz、C4 = 261.63 Hz 这些数字。

1. 音高不是频率本身

1.1 频率是物理量，音高是感觉

频率是客观的：每秒振动 440 次就是 440 Hz，没有任何歧义。音高是主观的：人耳把频率映射成”高/低”的感觉。

关键是这个映射不是线性的：

440 Hz → 880 Hz，我们觉得”高了八度”；
880 Hz → 1320 Hz，频率增加了 440 Hz，但我们感觉的”音高差”和第一段一样大（又是纯五度）。

也就是说，人耳比较两个音时，真正在意的是频率的比值，而不是差值。440 → 880 是 ×2，880 → 1320 是 ×1.5，两个都是”同一个音乐音程”。

1.2 用对数看音高

既然音高取决于比值，把频率取对数就非常自然：

\text{pitch} \propto \log f

频率翻倍， $\log f$ 增加一个固定量，音高正好增加一个八度。这就是为什么频谱分析里常用对数频率轴：人耳在 100 Hz 和 1000 Hz 之间听到的”距离”，和 1000 Hz 到 10000 Hz 之间听到的”距离”差不多，而线性轴会把低频挤在一起。

播放器的频段划分（sub-bass、bass、mid、high……）每一段在高频方向越来越宽，就是对数感知的直接体现。

2. 八度：最基础的音程

2.1 频率翻倍 = 八度

两个音如果频率正好是 2 倍关系，听起来”像一个音，只是更高”——这就是八度。比如：

音名	频率
A2	110 Hz
A3	220 Hz
A4	440 Hz
A5	880 Hz

它们相差都是 ×2，在音乐里都叫”同一个 A，高八度”。八度是全世界几乎所有音乐体系都认可的最基本音程。

2.2 为什么八度听起来”像同一个音”

频率翻倍意味着波形中高频分量是低频分量的”第二次振动”。人的听觉系统会认为这两个音有强烈的”谐波一致性”：如果把 220 Hz 和 440 Hz 一起播放，440 Hz 听起来就像 220 Hz 的二次谐波，二者几乎融合。

3. 一个八度内怎么分：12 个音的来历

3.1 问题：怎么”均匀”地把八度切开

一个八度是 ×2。我们要在 ×1 到 ×2 之间选出若干个音，让相邻两个音的听感距离都相等。

关键：听感距离相等 = 频率比值相等。所以中间音不能等差排列，必须等比排列。如果要在八度内切出 $n$ 个等距音，公比 $q$ 必须满足：

q^n = 2 \quad \Longrightarrow \quad q = 2^{1/n}

剩下的问题是： $n$ 取多少？

3.2 毕达哥拉斯：用整数比找和谐

两千多年前，毕达哥拉斯发现：频率比越简单，两个音听起来越和谐。

最和谐的几个整数比：

音程	频率比	例子
八度	$2:1$	440 → 880
纯五度	$3:2$	440 → 660
纯四度	$4:3$	440 → 586.67
大三度	$5:4$	440 → 550

于是”五度相生”法出现了：从某个音开始，不断乘 $3/2$ ，每 12 次后回到接近原来的音（因为 $(3/2)^{12} \approx 129.75$ ，而 $2^7 = 128$ ，非常接近）。这就是”12”这个数字的最初来源：纯五度转 12 圈，几乎正好是 7 个八度。

计算一下：

\left(\frac{3}{2}\right)^{12} = \frac{531441}{4096} \approx 129.746

而 7 个八度是 $2^7 = 128$ 。两者差约 1.4%，这 1.4% 的偏差叫毕达哥拉斯音差（Pythagorean comma）。五度相生法转完一圈后会留下一点”对不上”，不同音调琴键时问题会暴露。

3.3 十二平均律：让所有半音绝对相等

到了 16–17 世纪，音乐家需要自由转调，于是采用了一个妥协而优雅的方案：直接规定 12 个半音的比值全部相等。

设公比为 $q$ ，12 个半音填满一个八度：

q^{12} = 2

所以：

q = 2^{1/12} \approx 1.059463094

这就是十二平均律。第 $n$ 个半音相对基准的频率：

f_n = f_0 \cdot q^n = f_0 \cdot 2^{n/12}

十二平均律频率轴

图上的每个刻度之间频率比完全相同：C → C# → D → …… → B → 高八度 C′。12 步之后 $q^{12} = 2$ ，频率翻倍。

4. 半音、全音与音程

4.1 半音和全音

十二平均律里相邻两个音的距离叫半音，频率比 $2^{1/12} \approx 1.0595$ 。两个半音合成一个全音：

(2^{1/12})^2 = 2^{1/6} \approx 1.1225

在钢琴键盘上，白键和相邻黑键之间是半音（E–F、B–C 之间没有黑键，也是半音），白键之间隔一个黑键的是全音。

4.2 常见音程的频率比

音程	半音数	频率比（十二平均律）	近似整数比
小二度	1	$2^{1/12}$	1.0595
大二度	2	$2^{2/12}$	1.1225
小三度	3	$2^{3/12}$	1.1892
大三度	4	$2^{4/12}$	1.2599 ≈ 5:4
纯四度	5	$2^{5/12}$	1.3348 ≈ 4:3
纯五度	7	$2^{7/12}$	1.4983 ≈ 3:2
大六度	9	$2^{9/12}$	1.6818
小七度	10	$2^{10/12}$	1.7818
八度	12	$2$	2:1

注意纯五度在平均律里是 1.4983，而不是精确的 1.5。这 0.1% 的偏差就是”平均律的代价”，换来的是任意转调都绝对均匀。

4.3 常用音的频率

国际标准音 A4 = 440 Hz。由此可以推出其他所有音：

f = 440 \times 2^{(n-9)/12}

其中 $n$ 是相对 C 的半音序号（C4 = 0, C#4 = 1, …, A4 = 9, …）。代入得到：

音	半音序号	频率
C4	0	261.63 Hz
E4	4	329.63 Hz
G4	7	392.00 Hz
A4	9	440.00 Hz
C5	12	523.25 Hz

这些数字在音频编程里经常出现，比如做和弦演示时直接写 [261.63, 329.63, 392.00] 就是 C 大三和弦。

5. 音分：更精细的频率单位

5.1 定义

一个半音 = 100 音分（cents）。音分把对数刻度再细化 100 倍：

\text{cents}(f_1, f_2) = 1200 \cdot \log_2\frac{f_2}{f_1}

因为一个八度是 $2$ 倍、12 个半音、每个半音 100 音分，所以八度 = 1200 音分。

5.2 用途

调音器显示”偏离 +5 音分”就是：实际频率比目标频率高 $2^{5/1200} \approx 1.00289$ 倍。吉他和钢琴调音都依赖音分。

反过来，从音分差算频率比：

\frac{f_2}{f_1} = 2^{\text{cents}/1200}

6. 与可视化的关系

6.1 对数频率轴

播放器的频谱频段按对数划分，正是人耳感知的映射。如果按线性划分，20–200 Hz 会占掉一半的频段，而人耳在这个区间只能分辨出几个”音”，完全浪费。

6.2 为什么”能量”也要加权

既然音高感知是对数的，频段能量也常按对数或加权处理：低频权重更大、高频更细腻。播放器里 sub-bass 与 bass 对地形中心抬升的权重大，就是这个原因。

6.3 频率与音符对照

做音乐可视化时，经常需要判断”当前是不是某个音符”。公式：

n = 69 + 12\log_2\frac{f}{440}

$n$ 是 MIDI 音符编号（69 = A4）。用这个公式可以把任意频率映射到最近的音符和音分偏差，驱动”哪个琴键在亮”之类的效果。

7. 小结

音高感知是频率的对数：人耳比较的是比值；
八度 = 频率 ×2；
十二平均律规定一个八度内 12 个半音频率比全部相等： $q = 2^{1/12}$ ；
“12”来自纯五度（3:2）转 12 圈几乎等于 7 个八度的巧合；
半音 = 100 音分，音分公式 $1200\log_2(f_2/f_1)$ ；
音频可视化里的对数频带、频段加权都源自这套对数感知。

下一篇《响度与分贝》继续讲振幅和响度之间的对数关系，并推导分贝公式。

8. 深入专题：纯律、音差与调音

前面给了十二平均律的结论，这一节把”为什么是它”的完整故事讲透：纯律、五度相生的数学、音分运算规则、MIDI 转换，以及常见误区。

8.1 纯律：用整数比追求”绝对和谐”

十二平均律之前，音乐家用纯律（just intonation）：音程直接用简单整数比。C 大调音阶的纯律频率比：

音	C	D	E	F	G	A	B	C′
比值	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2

这些比值让和弦”绝对纯净”：大三和弦 C–E–G 的频率比是 4:5:6，听起来几乎没有任何”拍频”。

但纯律有个致命问题：不同调性不兼容。如果在 C 大调里调好音，转到 D 大调，D 音作为新主音时它的纯五度会偏。因为：

\frac{9}{8}\cdot\frac{3}{2} = \frac{27}{16} \ne \frac{5}{3}

这类矛盾让纯律乐器无法自由转调。

8.2 五度相生的完整数学

五度相生法：从 C 出发，每次乘 3/2 得到下一个纯五度：

步数	频率（相对 C）	约化成八度内
0	1	C
1	3/2 = 1.5	G
2	9/4 = 2.25	D（÷2 → 9/8 = 1.125）
3	27/8 = 3.375	A（÷2 → 27/16 = 1.6875）
…	…	…
12	(3/2)¹² ≈ 129.746	约化成 7 个八度

第 12 步：

\left(\frac{3}{2}\right)^{12} = \frac{531441}{4096} \approx 129.746

而 7 个八度是 $2^7 = 128$ 。两者相差：

\frac{129.746}{128} \approx 1.01364

换算成音分：

1200\log_2 1.01364 \approx 23.46\ \text{cents}

这就是毕达哥拉斯音差（Pythagorean comma）：五度相生转完 12 圈后，比起点高了约 23.46 音分——将近四分之一个半音，没法把”回到起点的音”和起点对齐。

五度相生 vs 七个八度

8.3 平均律 C 大调音阶：逐音计算

用 $q = 2^{1/12}$ ，从 C4 = 261.63 Hz 开始：

f_n = 261.63 \times q^n

音	半音数 n	频率（Hz）
C4	0	261.63
D4	2	293.66
E4	4	329.63
F4	5	349.23
G4	7	392.00
A4	9	440.00
B4	11	493.88
C5	12	523.25

自己验证一个： $261.63 \times 2^{7/12} = 261.63 \times 1.4983 = 392.00$ 。

注意 E4 在平均律里是 329.63，纯律是 $261.63 \times 5/4 = 327.04$ 。两者差约 13.7 音分，这就是”平均律的和弦没有纯律纯净，但能自由转调”的代价。

8.4 音分运算：为什么用对数

音分的定义：

\text{cents}(f_1, f_2) = 1200\log_2\frac{f_2}{f_1}

音分刻度

对数的好处是乘法变加法：

\text{cents}(f_1, f_3) = \text{cents}(f_1, f_2) + \text{cents}(f_2, f_3)

例如：C→E 是 400 音分，E→G 是 300 音分，那么 C→G 是 700 音分（正好是纯五度 2^{7/12}）。

调音器显示”偏高 5 音分”，意思是实际频率：

f = f_{\text{target}} \times 2^{5/1200} \approx f_{\text{target}} \times 1.00289

8.5 MIDI 音符与频率互转

MIDI 规范把 A4 定为 69 号音符，每个半音差 1。频率转音符：

n = 69 + 12\log_2\frac{f}{440}

反向：

f = 440 \times 2^{(n-69)/12}

这个公式在音乐可视化里非常常用：把频谱频率映射到”最近音符”，就能知道当前在响哪个琴键。

8.6 常见误区

误区一：“440 Hz 是物理真理，432 Hz 更自然”

440 只是国际约定（1955 年 ISO 标准），不是物理定律。432 之类的”自然频率”没有科学依据，也不”更和谐”。

误区二：“平均律的和弦是错的，纯律才对”

纯律在单一调性里更纯净，但无法转调。平均律牺牲一点点纯净度换来完全自由转调，是现代音乐的基础。

误区三：“频率越高，声音越大”

频率决定音高，振幅决定响度，两个维度独立。

误区四：“半音就是 100 Hz”

半音是频率比 $2^{1/12}$ ，不是固定 Hz。低音区一个半音只有几 Hz，高音区一个半音有几百 Hz。

误区五：“钢琴一个键只有一个正弦波”

每个琴键发出的声音都包含基频 + 大量泛音，音色由泛音分布决定。

8.7 扩展练习

用 $1200\log_2(f_2/f_1)$ 计算 C4 到 G4 的音分（应接近 700）。
纯律大三度 5/4 和平均律大三度 2^{4/12} 相差多少音分？
计算 MIDI 音符 60（中央 C）的频率。
为什么五度相生 12 圈”几乎”回到原点？给出两个数值并比较。

练习

用公式计算 C#4（C4 高一个半音）的频率，保留两位小数。
440 Hz 和 445 Hz 相差多少音分？
为什么纯五度的平均律频率比不是精确 1.5？差多少？
一个八度是 1200 音分，验证 $1200\log_2 2 = 1200$ 。